a = `(sqrt(5) + 1)/(sqrt(5) - 1)`  x `(sqrt(5) + 1)/(sqrt(5) +1)` = `((sqrt(5) + 1)^2)/((5 - 1))`

= `(5 + 1 + 2sqrt(5))/(4)` =  `((3 + sqrt(5))/(2))`

b= `(sqrt(5) - 1)/(sqrt(5) +1)`  x  `(sqrt(5) - 1)/(sqrt(5) -1)` = `((sqrt(5)  - 1)^2)/((5 - 1))` = `(5 + 1 - 2sqrt(5))/(4)`

= `((3 - sqrt(5))/(2))`

`:.`  `a^2 + b^2` = `((3 + sqrt(5))^2)/(4)` + `((3 - sqrt(5))^2)/(4)` = `((3 + sqrt(5))^2 +(3 - sqrt(5))^2)/(4)`

`(2(9 + 5))/(4)`   = 7.

Also, ab = `((3 + sqrt(5) (3 - sqrt(5))/(2)`  = ` (9 - 5)/4` = 1

`:.` ` (a^2 + ab + b^2)/(a^2 - ab + b^2)` =   `((a^2 b^2) + ab)/((a^2 + b^2) - ab)`  =  `(7 + 1)/(7 - 1)` = `8/6` = `4/3`